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 شرح درس الموافقات والقسمة خاص بالشعب الرياضية بالفرنسية

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مُساهمةموضوع: شرح درس الموافقات والقسمة خاص بالشعب الرياضية بالفرنسية   السبت مايو 14, 2011 4:32 pm



I. Divisibilité et Congruences


1. Divisibilité


Définition
est un diviseur de s'il existe un entier relatif tel que

On dit également que divise ou que est un multiple de .

On note




Division euclidienne dans Z

On considère un entier relatif et entier naturel différent de 0.

Il existe un unique couple tel que avec

est le quotient et le reste de la division de par .






2. Critères de divisibilité


Pour qu'un nombre entier soit divisible par :

2, il faut et il suffit que le chiffre des unités soit 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8,

10n, il faut et il suffit que ce nombre se termine par n zéros,

4 ou 25, il faut et il suffit que le nombre formé par les deux derniers chiffres soit divisible par 4 ou 25,

8 ou 125, il faut et il suffit que le nombre formé par les trois derniers chiffres soit divisible par 8 ou 125,

3 ou 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres soit divisible par 3 ou 9,

5, il faut et il suffit que ce nombre se termine par 0 ou 5,


11, il faut et il suffit que la différence entre la somme des chiffres
de rang pair et celle de rang impair soit un multiple de 11.


Exemples d'application :

Exemple 1 :

Quelles sont les valeurs de l'entier relatif pour lesquelles la fraction représente un entier relatif ?

Cette fraction a un sens si , soit .

On constate que

divise , donc divise si divise -4.

Les diviseurs de -4 sont 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4.

Il faut que ce qui entraîne que

On vérifie que -4 n'appartient pas à {-8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0} avant de conclure.

Conclusion : la fraction représente un entier relatif pour les valeurs de l'entier relatif : -8 ; -6 ; -5 ; -3 ; -2 ; 0.


Exemple 2 :

Démontrer que tous les nombres dont l'écriture décimale est avec sont divisibles par 7 ; 11 et 13.

On a

Donc

, 7 et 11 sont des nombres entiers; leur produit aussi.

13 est donc un diviseur de . Il en de même pour 7 et 11.

La conclusion en découle.


Exemple 3 :

Montrer que pour tout entier naturel ,3 divise .

On va utiliser une démonstration par récurrence.

On note la propriété : "3 divise ".

Pour : 40 - 1 = 1 - 1 = 0 est divisible par 3, donc P(0) est vraie.

On suppose vraie ce qui se traduit par : il existe un entier naturel tel que , donc

Au rang :

Conclusion : D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel , 3 divise .




3. Congruences

Définition

Soit , est congru à modulo s'il existe un entier tel que .

On le note [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%20[n][/img]




Exemple :

38 3 [5] car 38 = 7 × 5 + 3


Propriétés

sont des entiers relatifs. est un entier naturel différent de 0.

[img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n]%20%5Ciff%20b%20%5Cequiv%20a%7E[n][/img]

Si [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n][/img] et [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?b%20%5Cequiv%20c%7E[n][/img], alors [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20c%7E[n][/img]

Si [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n][/img], alors [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20+%20c%20%5Cequiv%20b%20+%20c%7E[n]%20%5Ctext%7B%20et%20%7D%20ac%20%5Cequiv%20bc%7E[n][/img]

Si [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n]%20%5Ctext%7B%20et%20%7D%20c%20%5Cequiv%20d%7E[n][/img], alors [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20+%20c%20%5Cequiv%20b%20+%20d%7E[n]%20%5C,%20%5C,%20;%20%5C,%20%5C,%20a%20-%20c%20%5Cequiv%20b%20-%20d%7E[n]%20%5C,%20%5C,%20%5Ctext%7B%20et%20%7D%20%5C,%20%5C,%20ac%20%5Cequiv%20bd%7E[n][/img]

Si [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n][/img], alors [img]http://latex.ilemaths.net/latex-2.tex?a%5Ep%20%5Cequiv%20b%5Ep%20%7E[n][/img] ( désigne un entier naturel).




Remarque :

On ne peut pas diviser une congruence ([img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?ac%20%5Cequiv%20bc%7E[n][/img] n'implique pas [img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?a%20%5Cequiv%20b%7E[n][/img]).


Exemples d'application :

Exemple 1 : Déterminer les restes de la division euclidienne pour de par 7.

Il est bon de rappeler que pour tout , est le reste de la division euclidienne de par 7 si et [img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?x%20%5Cequiv%20r%7E[7][/img]

On dresse le tableau qui permet de montrer les restes modulo 7 des premières puissances de 3 :

30 31 32 33 34 35 36
1 3 2 6 4 5 1


Pour tout , [img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?3%5E%7B6k%7D%20%5Cequiv%20%283%5E6%29%5Ek%20%5Cequiv%201%7E[7][/img]

Soit , il existe tel que avec

et comme , on a :

[img]http://latex.ilemaths.net/latex-1.tex?3%5En%20%5Cequiv%203%5Er%20%7E[7][/img]

Si , on a : : le reste est 1.

Si , on a : : le reste est 3.

Si , on a : : le reste est 2.

Si , on a : : le reste est 6.

Si , on a : : le reste est 4.

Si , on a : : le reste est 5.



Exemple 2 : Déterminer les restes de la division euclidienne par 7 de

1515 = 7 × 216 + 3, donc 1 515 3 (7).

Donc, pour tout

Pour , on effectue la division euclidienne de 2000 par 6 : 2 000 = 6 × 333 + 2.

Précédemment, on a vu que

Donc

Le reste de la division euclidienne de par 7 est 2.



Exemple 3 : Déterminer l'ensemble des entiers naturels tels que (modulo 9).

Il suffit d'examiner les valeurs possibles pour et (modulo 9) en dressant le tableau suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 4 8 7 5 1 2 4
0 1 4 0 7 7 0 4 1

On en déduit pour tout (modulo 9) si :

L'ensemble des entiers naturels tels que (modulo 9 est : avec



Exemple 4 : Une équation diophantienne

Résoudre l'équation (E) d'inconnues

1ère étape: on cherche une solution particulière en faisant appel à l'algorithme d'Euclide

405 = 120 × 3 + 45 (1)

120 = 45 × 2 + 30 (2)

45 = 30 × 1 + 15 (3)

30 = 15 × 2 + 0 (4)

Le dernier reste non nul est le pgcd des 2 nombres, donc pgcd(405 ; 120) = 15.

On pourra exprimer 15 en fonction de 405 et 120 en remontant de la division (3) à la division (1).

15 = 45 - 1 × 30 d'après (3).

15 = 45 - 1 × (120 - 2 × 45) d'après (2).

15 = 405 - 3 × 120 - 1 × (120 - 2 × (405 - 3 × 120)) d'après (1).

Soit 15 = 3 × 405 - 10 × 120

On tire et .


2ème étape : la solution générale en utilisant la solution particulière et le théorème de Gauss




27 et 8 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss, 27 divise , donc il existe tel que :

soit

De même, donc

Réciproquement, si et , alors

Conclusion : l'ensemble solution de (E) est :





II. PPCM et PGCD - Nombres premiers


1. PPCM et PGCD

PDCG de deux entiers

Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.

L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément d noté pgcd(a ; b).




Exemple : PGCD(9 ; 15) = 3


PPCM de deux entiers

Soient a et b deux entiers relatifs différents de 0.

L'ensemble des multiples strictement supérieurs à 0 communs à a et b admet un plus petit élément m noté PPCM(a ; b).




Exemple : PPCM(6 ; 4) = 12


Nombres premiers

Un entier naturel n est premier si et seulement si il possède exactement deux diviseurs : 1 et n.




Les nombres 0 et 1 ne sont pas premiers. Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.


Ewemple : 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 sont premiers.


Critère de primalité

Un entier naturel est premier si et seulement si il n'est pas divisible par un nombre premier compris entre 2 et




Exemple :

137 est un nombre premier car

On remarque que 2, 3, 5, 7, 11 ne divisent pas 137.



Exemples d'application :

1er exemple : Calculer PGCD(120 , 88) en utilisant trois méthodes différentes

1ère méthode : Ecrire la liste des diviseurs de 120 et celle de 88.

Diviseurs de 120 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Diviseurs de 88 : 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88.

On en déduit que PGCD(120 , 88) = 8.


2ème méthode : par l'algorithme d'Euclide

120 = 88 × 1 + 32

88 = 32 × 2 + 24

32 = 24 × 1 + 8

24 = 8 × 3 + 0

Le dernier reste non nul (Cool constitue le PGCD des deux nombres. On a donc PGCD(120 ; 88) = 8.


3ème méthode : On utilise la décomposition en produit de de facteurs premiers

120 = 23 × 3 × 5

88 = 2311

Donc PGCD(120 , 88) = 23 = 8


Remarques :

- On prend tous les termes communs affectés du plus faible coefficient.

- Cette dernière méthode est peu pratique si les entiers sont grands
car la décomposition en facteurs premiers se révèle difficile à faire.
Il semble préférable d'employer l'algorithme d'Euclide.



2ème exemple : Soit . On pose

a) Montrer que divise 6.

b) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que .


a) On constate que pour et que 3(-4) + 15 = 3 0. On en conclut que et ne sont pas nuls simultanément. Par conséquent le PGCD a un sens.

divise et .

Donc divise


b) si (modulo 6) et (modulo 6).

On dresse le tableau des différentes valeurs prises par et modulo 6.


0 1 2 3 4 5
2 4 0 2 4 0
3 0 3 0 3 0


Ainsi si (modulo 6) soit



3ème exemple : Soient et deux entiers naturels différents de 0; est leur PGCD et leur PPCM.

Trouver l'ensemble des couples d'entiers naturels non nuls qui vérifient la relation : .


divise ; or divise , donc divise avec 3 et 41 des nombres premiers.

Les différentes valeurs de d sont : 1, 3, 41 et 123.

On sait que , donc , d'où , soit . Les valeurs de 41 et 123 sont à éliminer.

On suppose .

Si soit soit

et soit (car ).

Par un raisonnement identique et en prenant pour , on trouverait et et et .

Par symétrie si on a les couples suivants :

(1 ; 59) ; (59 ; 1) ; (3 ; 54) ; (54 ; 3) ; (6 ; 27) ; (27 ; 6).



2. Nombres premiers entre eux


et premiers entre eux (on dit aussi étrangers)

est irréductible



il existe deux entiers et tels que .




Application :

Soit . Démontrer que et sont premiers entre eux.

On cherche deux entiers et tels que .

Pour les trouver, on essaye d'éliminer dans la relation .

On prend et ; on a :

Conclusion : et sont premiers entre eux.






III. Les théorèmes de Bézout et de Gauss ; le petit théorème de Fermat

Théorème de Bézout

Soient a et b deux entiers non nuls.

Il existe deux entiers u et v tels que au + bv = PGCD(a ; b).

(En particulier, si a et b sont premiers entre eux : au + bv = 1 ; c'est l'égalité de Bézout)




Théorème de Gauss

Soient a, b et c trois entiers non nuls.

Si a divise le produit bc et si a est premier avec b, alors a divise c.




Petit théorème de Fermat

Soit un nombre premier.

Pour tout entier relatif non divisible par , on a : (modulo )




Corrolaire

Soit un nombre premier.

Pour tout entier relatif , on a : (modulo )




1er exemple :

Soit .

a) Déterminer deux entiers relatifs et tels que : .

b) En déduire que et sont premiers entre eux.

c) Prouver que la fraction est irréductible.


a) On a , donc . Ces deux valeurs conviennent.

b) D'après la question précédente et en vertu du théorème de Bézout, on peut affirmer que et sont premiers entre eux.

c) Pour tout , on a : . On a trouvé et tels que . D'après le théorème de Bézout, on peut affirmer que, pour tout , et sont premiers entre eux avec .

On en conclut que la fraction est irréductible pour tout .


2ème exemple :

On considère l'équation

On suppose que la solution de cette équation est rationnelle et qu'elle appartient à ]0 ; 1[.

On peut donc l'écrire sous forme irréductible

Donner les différentes valeurs possibles pour la fraction

est solution de (1) donc

Par multiplication par , on trouve : avec l'expression entre parenthèse qui appartient à

divise

Par hypothèse est irréductible donc est premier avec .

D'après le théorème de Gauss, divise et en appliquant à nouveau ce théorème divise puis que divise 4.

Par hypothèse avec et donc .

divise 4.

Donc et divise 3, donc . (En effet, on a également

On en déduit que les valeurs possibles de sont ou .

Après vérification avec l'équation (1), seule la deuxième valeur trouvée est solution, soit .


3ème exemple : Quel est le reste de la division euclidienne de 1316 par 17

17 est un nombre premier et 17 ne divise pas 13. Par application du petit théorème de Fermat : soit .

, donc le reste de la division de 1316 par 17 est 1.


4ème exemple :

Soit .

Montrer que 23 est un diviseur de .

.

Le nombre 23 est premier et 23 n'est pas un diviseur de 3, donc par application du petit théorème de Fermat, est divisible par 23 et par suite 23 est un diviseur de






IV. Numération


Les chiffres 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 permettent d'écrire les nombres dans le système décimal.

Tout nombre entier en base 10 s'écrit :

avec


Système de base b :

Tout nombre écrit en base s'écrit dans la base 10 :

avec

Pour , on note les chiffres après le chiffre 9.

Pour passer d'un système à l'autre, il est plus facile de revenir en base 10.

On note par exemple le nombre en base 5 qui s'écrit : en base 10.


Exemple :

Déterminer les entiers naturels et tels que

On doit écrire chacun de ces nombres en base 10 :



Après calcul, on obtient :

Sachant que car la plus petite base écrite est 8, on cherche à déterminer et . (2)

De (1) on tire la valeur de

D'après (2) on a l'encadrement de : qui, après résolution de ces inégalités donne .

On choisit donc . La valeur de s'en déduit, soit


Remarque : Pour trouver et ,
on aurait pu faire appel à la résolution de l'équation diophantienne
(1). J'invite le lecteur à appliquer cette méthode qui est toutefois un
peu plus longue.


Exercice ouvert qui comporte plusieurs solutions :

Un entier naturel étant donné, quel est le chiffre des unités de l'écriture décimale de ?


On remarque, en effectuant plusieurs essais que se termine par zéro. On va essayer de le démontrer.

On peut écrire . Cette écriture appelle à deux remarques :

- le produit est pair car et sont deux entiers consécutifs.

- de plus les naturels 2 et 5 sont premiers entre eux.

Donc pour démontrer que est divisible par 10, on doit démontrer uniquement qu'il est divisible par 5.

On va se servir de quatre méthodes différentes.


1ère Méthode : par récurrence

Pour : vraie

Supposons que la relation soit vraie au rang , soit :

Démontrons qu'elle est vraie au rang , soit est un multiple de 5.

On a

. Cette dernière expression montre que la relation est vraie au rang .

Le principe de récurrence permet de conclure.


2ème méthode : les congruences

On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de par 5.

Si

Si donc

Si donc

Si donc

Si donc

La conclusion est immédiate.


3ème méthode : factorisation de



Si alors

Si alors alors

Si alors alors

Si alors alors

La conclusion en découle.


4ème méthode : on utilise le petit théorème de Fermat



Si , on a

Si n'est pas congru à zéro (5) comme 5 est premier, est premier avec 5. D'après le petit théorème de Fermat : est divisible par 5.

On a donc

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